Abstract. Die Charakterisierung der f-Vektoren von kubischen 4-Polytopen ist ein spannendes offenes Problem. Es ist bekannt, dass die Eckenzahl gerade ist [Blind&Blind], aber es ist offen, ob es Paritätseinschränkungen für #Facetten gibt. Wir zeigen, dass ein kubisches 4-Polytop mit ungerader Facettenzahl existiert --- und wie es konstruiert und auch *visualisiert* werden kann. Dazu betrachten wir den Zusammenhang zwischen kubischen 3-Spähren/4-Polytopen und Immersionen von geschlossenen 2-Mannigfaltigkeiten. Wichtigstes Puzzlestück für das gesuchte 4-Polytop wird ein regulärer, konvexer, kubischer 3-Ball mit einer Boyschen Fläche als Dualmannigfaltigkeit. Weiterhin diskutieren wir Folgerungen aus dem Existenzresultat, wie z.B. Beispiel Meshing:
- every cubical 3d mesh has a parity-changing geometric cubical subdivision,
- the cubical flip graph for cubical 3d meshes has at least two components.